Квадратные уравнения, дискриминант

Цели урока

• Узнавать квадратное уравнение и правильно выписывать коэффициенты a, b, c вместе со знаками.
• Находить дискриминант и по его знаку определять число корней, не решая уравнение до конца.
• Решать полные уравнения по формуле корней, а неполные — быстрыми способами без дискриминанта.
• Понимать, откуда берётся формула корней (выделение полного квадрата) и как она связана с параболой.
• Проверять корни по теореме Виета и отбирать их по смыслу текстовой задачи.

Введение

Квадратное уравнение — одна из самых «рабочих» тем школьной математики. Она нужна не ради одной главы учебника: к ней сводятся задачи из физики, экономики, геометрии и программирования, а на экзаменах она встречается постоянно.

• ОГЭ. По демоверсиям ФИПИ последних лет квадратное уравнение прямо проверяет задание 9 («Решите уравнение»), а во второй части оно почти всегда оказывается внутри более сложной задачи: системы, дробного уравнения или текстовой задачи.
• ЕГЭ профильного уровня. В уравнениях с тригонометрией, логарифмами и степенями после замены переменной (например, t = sin x) почти всегда получается квадратное уравнение. Кто решает его уверенно, экономит на экзамене десятки минут.
• Физика. Мяч, брошенный вверх, летит по закону h(t) = h₀ + v₀t − gt²/2. Вопрос «когда мяч окажется на высоте 9 метров» — это квадратное уравнение относительно времени t.
• Быт и работа. Какой ширины сделать дорожку вокруг клумбы, чтобы хватило плитки? При какой цене выручка магазина будет наибольшей? За сколько лет вклад вырастет до нужной суммы при сложных процентах на два года? Всё это решается через квадратные уравнения.
• Олимпиады. Задачи с параметром, теорема Виета, оценки через дискриминант — любимые инструменты олимпиадной алгебры.

Главное, что ты вынесешь из урока: не только формулу корней, но и понимание, откуда она берётся. Тогда её невозможно забыть: ты всегда сможешь вывести её заново за минуту.

Ключевые понятия

• Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — переменная (неизвестное), а a, b, c — числа, причём a ≠ 0. Слово «квадратное» указывает на старшую степень переменной: x во второй степени, то есть «в квадрате». Если a = 0, слагаемое с x² исчезает и уравнение становится линейным.
• Коэффициенты (от лат. coefficiens — «содействующий») — числа a, b и c. Коэффициент a называют старшим или первым, b — вторым (это коэффициент при x), c — свободным членом: он «свободен» от переменной.
• Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. Например, x = 2 — корень уравнения x² − 5x + 6 = 0, потому что 4 − 10 + 6 = 0.
• Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что корней нет. Найти один корень, если их два, — значит решить уравнение не до конца.
• Приведённое квадратное уравнение — уравнение, у которого старший коэффициент равен единице: x² + px + q = 0. Его «привели» к удобному виду, разделив обе части на a.
• Неполное квадратное уравнение — уравнение, в котором b = 0 или c = 0 (или оба сразу): ax² + c = 0, ax² + bx = 0, ax² = 0.
• Дискриминант (от лат. discriminare — «различать») — число D = b² − 4ac. Оно «различает» уравнения по числу корней, не решая их.
• Квадратный трёхчлен — многочлен ax² + bx + c. Корни квадратного трёхчлена — это корни уравнения ax² + bx + c = 0.
• Действительные числа — все числа числовой прямой: целые, дроби, иррациональные числа вроде √2 и π. В этом уроке «корень» всегда означает действительный корень.

Интуиция

Начнём с самого простого уравнения этого типа: x² = k. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому всё зависит от знака k.

• Если k > 0, корней два: x = √k и x = −√k. Например, x² = 9 даёт x = 3 и x = −3: и 3², и (−3)² равны 9.
• Если k = 0, корень один: x = 0.
• Если k < 0, корней нет: ни одно число в квадрате не даёт отрицательный результат.

Идея всего урока в том, что любое квадратное уравнение можно переписать в виде (x + m)² = k, то есть «спрятать» переменную внутрь одного квадрата. После этого уравнение решается так же, как x² = k: смотрим на знак правой части. Приём называется выделением полного квадрата, а дискриминант — это, по сути, и есть тот самый знак правой части, записанный через a, b и c.

Полезно держать в голове и геометрический образ. Графиком функции y = ax² + bx + c служит парабола. Корни уравнения — это точки, где парабола пересекает ось Ox (там y = 0). Парабола может пересечь ось в двух точках, коснуться её в одной или пройти целиком выше или ниже оси. Отсюда и три случая: два корня, один, ни одного. Никакого четвёртого варианта быть не может: у квадратного уравнения никогда не бывает трёх корней.

Наконец, образ из истории. Древние математики думали о x² буквально как о площади квадрата со стороной x, а о bx — как о площади прямоугольника со сторонами b и x. «Выделить полный квадрат» для них значило достроить фигуру до настоящего квадрата, подложив недостающий уголок. Этот чертёж мы разберём в визуализациях.

Основные правила

Теорема о корнях квадратного уравнения. Пусть дано уравнение ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, и D = b² − 4ac. Тогда:

1. если D > 0, уравнение имеет два различных корня: x₁ = (−b + √D) / (2a) и x₂ = (−b − √D) / (2a);
2. если D = 0, уравнение имеет один корень x = −b / (2a) (говорят также: два совпавших корня);
3. если D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Обе формулы из первого пункта кратко записывают одной строкой: x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a). Знак «±» читается «плюс-минус» и означает, что нужно посчитать два значения — с плюсом и с минусом.

Формула для чётного второго коэффициента. Если b = 2k (то есть b делится на 2), удобнее считать «четверть дискриминанта» D₁ = k² − ac. Тогда x₁,₂ = (−k ± √D₁) / a. Это та же формула, только с сокращёнными на 2 и на 4 числами: D = 4D₁, √D = 2√D₁.

Неполные квадратные уравнения

Их решают без дискриминанта — быстрее и надёжнее.

Главное правило для второй строки: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому корень x = 0 никогда нельзя «терять».

Доказательство и вывод

Выведем формулу корней. Каждый шаг — равносильное преобразование, то есть корни уравнения не теряются и не появляются новые.

Шаг 1. Разделим обе части уравнения ax² + bx + c = 0 на a. Это можно сделать, потому что a ≠ 0:

x² + (b/a)·x + c/a = 0.

Шаг 2. Хотим увидеть в левой части формулу квадрата суммы (x + m)² = x² + 2mx + m². Слагаемое (b/a)·x запишем как 2 · x · b/(2a). Значит, m = b/(2a), и для полного квадрата не хватает слагаемого m² = b²/(4a²). Прибавим и сразу вычтем его — от этого выражение не меняется:

x² + 2 · x · b/(2a) + b²/(4a²) − b²/(4a²) + c/a = 0.

Шаг 3. Первые три слагаемых сворачиваются в квадрат, остальное переносим вправо и приводим к общему знаменателю 4a²:

(x + b/(2a))² = b²/(4a²) − c/a = (b² − 4ac)/(4a²) = D/(4a²).

Шаг 4. Знаменатель 4a² положителен при любом a ≠ 0. Поэтому знак правой части совпадает со знаком D. Дальше всё как в разделе «Интуиция» с уравнением вида «квадрат равен числу»:

• если D < 0, справа отрицательное число, а слева квадрат, который не бывает отрицательным. Равенство невозможно — корней нет;
• если D = 0, получаем (x + b/(2a))² = 0, откуда x = −b/(2a) — единственный корень;
• если D > 0, то x + b/(2a) = ±√D/(2|a|). Знак «±» уже перебирает оба знака, поэтому |a| можно заменить на a: x = −b/(2a) ± √D/(2a) = (−b ± √D)/(2a).

Теорема доказана. Обрати внимание: мы не заучивали формулу, а получили её одной идеей — выделением полного квадрата.

Теорема Виета

Из формулы корней сразу следуют два красивых соотношения. Если D ≥ 0, сложим и перемножим корни:

• x₁ + x₂ = (−b + √D)/(2a) + (−b − √D)/(2a) = −2b/(2a) = −b/a;
• x₁ · x₂ = ((−b)² − (√D)²)/(4a²) = (b² − b² + 4ac)/(4a²) = c/a.

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 это звучит совсем коротко: сумма корней равна −p, произведение равно q. Теорема помогает проверять ответ, подбирать корни устно и составлять уравнение по известным корням.

Алгоритм

1. Перенеси все слагаемые в левую часть и приведи уравнение к виду ax² + bx + c = 0. Не дели обе части на выражение с x.
2. Выпиши a, b и c отдельной строкой вместе со знаками. Если a = 0 — уравнение линейное, реши его без дискриминанта.
3. Если b = 0 или c = 0 — уравнение неполное: реши его быстрым способом из таблицы в разделе «Основные правила».
4. Проверь быстрые приёмы: если a + b + c = 0, корни 1 и c/a; если a − b + c = 0, корни −1 и −c/a.
5. Посчитай дискриминант D = b² − 4ac. Если b чётное (b = 2k), удобнее D₁ = k² − ac.
6. По знаку D сделай вывод: D < 0 — корней нет; D = 0 — один корень x = −b/(2a); D > 0 — два корня x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a).
7. Проверь ответ по теореме Виета или подстановкой. В текстовой задаче отбрось корни, которые не подходят по смыслу.

Визуализации

Визуализация 1. Парабола и число корней

На графике три параболы с одинаковыми a = 1 и b = −2 и разными c. Меняя только свободный член, мы сдвигаем параболу вверх или вниз, не меняя её формы. Нижняя пересекает ось Ox в двух точках (−1 и 3) — у её уравнения два корня и положительный дискриминант. Средняя касается оси в одной точке x = 1 — дискриминант равен нулю. Верхняя целиком лежит выше оси, общих точек нет — дискриминант отрицательный. Вывод: число корней — это число общих точек параболы с осью Ox.

Визуализация 2. Чертёж аль-Хорезми: достраиваем квадрат

Решим x² + 10x = 39 «по-древнему». Представим левую часть площадью фигуры.

Слагаемое 10x разрезали пополам и приложили к квадрату с двух сторон — получилась фигура в форме буквы «Г» площадью 39. Чтобы получить настоящий квадрат, не хватает углового квадратика 5 × 5. Добавляем его к обеим частям: (x + 5)² = 64, откуда x + 5 = 8 и x = 3. Это ровно шаги 2–3 нашего вывода, только нарисованные. Геометрия не видит отрицательного корня x = −13, поэтому средневековые математики его не записывали.

Визуализация 3. Знак дискриминанта — сводная схема

Таблицу полезно помнить целиком: по одной строке видно всё — как посчитать, сколько получится и как это выглядит на графике. При D = 0 единственный корень совпадает с абсциссой вершины параболы x₀ = −b/(2a). Поэтому касание всегда происходит именно в вершине.

Примеры

Исключения и особые случаи

• Старший коэффициент равен нулю. При a = 0 уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным: bx + c = 0. Дискриминант к нему применять нельзя. Особенно важно это в задачах с параметром, где a зависит от буквы.
• D = 0. Корень один, но в старших классах говорят и о «двух совпавших корнях»: x₁ = x₂ = −b/(2a). Для теоремы Виета корень в этом случае считают дважды.
• D < 0. В школьном курсе алгебры 8 класса ответ — «корней нет». В старших классах и в вузе вводятся комплексные числа, в которых у такого уравнения корни есть, но в действительных числах их нет.
• Уравнение не в стандартном виде. Уравнения вроде 3x² = 5x или (x − 1)² = 4 сначала приводят к виду ax² + bx + c = 0 или решают своим быстрым способом. Делить обе части на x нельзя — теряется корень x = 0.
• Неполные уравнения. Формула корней для них работает, но быстрые способы надёжнее и короче.
• Посторонние корни в задачах. Уравнение может быть решено верно, а один из корней не подойдёт по смыслу: отрицательная длина, дробное число людей. Такие корни отбрасывают и пишут почему.

Типичные ошибки

1. Потерянный знак коэффициента. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициент b = −5, поэтому −b = 5. Частая ошибка — подставить в числитель −5. Как избежать: всегда выписывай a, b, c отдельной строкой вместе со знаками.
2. Квадрат отрицательного числа. (−5)² = 25, а не −25. Ошибка возникает при вводе в калькулятор −5² без скобок. Как избежать: пиши b² в скобках, если b отрицательный.
3. Деление не всего числителя. В формуле (−b ± √D)/(2a) на 2a делится вся сумма. Запись −b ± √D/(2a) — это другая, неверная формула.
4. Деление на x. Сокращая уравнение на переменную, ты теряешь корень x = 0. Как избежать: переноси всё в одну часть и выноси общий множитель.
5. Забытый случай a = 0. В задачах с параметром старший коэффициент может обнулиться. Тогда уравнение линейное и дискриминант к нему неприменим.
6. «Корень из отрицательного». Если D < 0, ответ — «корней нет». Не пиши формулы с √ от отрицательного числа: в действительных числах такое выражение не определено.
7. Ответ без проверки смысла. В текстовой задаче уравнение может дать отрицательную длину или дробное число людей. Такие корни отбрасывают и объясняют почему.

Сравнения и мнемоники

Лайфхак 1. Сумма коэффициентов

Если a + b + c = 0, то один корень равен 1, а другой — c/a. Проверь: при x = 1 левая часть равна a + b + c = 0. Второй корень находится по Виету: x₁ · x₂ = c/a, а x₁ = 1.

Пример: 5x² − 8x + 3 = 0. Сумма 5 − 8 + 3 = 0, значит x₁ = 1, x₂ = 3/5 — без единого вычисления дискриминанта.

Аналогично, если a − b + c = 0, то x₁ = −1, x₂ = −c/a.

Лайфхак 2. Как запомнить формулу

Проговори её как фразу: «минус бэ, плюс-минус корень из дискриминанта, всё делим на два а». Слово «всё» напоминает главное: на 2a делится весь числитель, а не только корень. А сам дискриминант удобно запомнить как «бэ квадрат минус четыре а цэ».

Сравнение. Полное и неполное уравнение

Историческая справка

Квадратные уравнения решали почти четыре тысячи лет назад. На старовавилонской глиняной табличке BM 13901, которая хранится в Британском музее, записана задача: «Я сложил площадь и сторону квадрата и получил 45/60». В современной записи это x² + x = 3/4. Писец решает её по готовому рецепту — фактически выделением полного квадрата — и получает сторону 1/2.

Древнегреческий математик Диофант (III век) решал такие уравнения в «Арифметике» и искал только положительные рациональные корни. Индийский математик Брахмагупта в 628 году сформулировал словесное правило, близкое к нашей формуле, и уже допускал отрицательные величины.

Слово «алгебра» пришло из названия трактата багдадского учёного Мухаммада аль-Хорезми (IX век) «Китаб аль-джабр валь-мукабала». В нём уравнение x² + 10x = 39 решается тем самым чертежом с достраиванием квадрата. Буквенную запись коэффициентов и связь между корнями и коэффициентами ввёл французский математик Франсуа Виет (1540–1603). Поэтому теорема о сумме и произведении корней носит его имя. Современный вид формулы закрепился после «Геометрии» Рене Декарта (1637). Сам термин «дискриминант» появился гораздо позже: в 1851 году его ввёл английский математик Джеймс Сильвестр.

Мини-практика

Чек-лист

• Я перенёс все слагаемые в одну часть и получил вид ax² + bx + c = 0.
• Я выписал a, b, c со знаками и проверил, что a ≠ 0.
• Я проверил, не является ли уравнение неполным.
• Я посчитал D = b² − 4ac и взял (−b)² в скобки, если b отрицательное.
• В формуле корней я разделил на 2a весь числитель.
• Я проверил ответ по теореме Виета или подстановкой.
• В текстовой задаче я отобрал корни по смыслу.

Итоги

1. Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.
2. Дискриминант D = b² − 4ac определяет число корней: D > 0 — два, D = 0 — один, D < 0 — ни одного.
3. Формула корней x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a) получается выделением полного квадрата, её можно вывести заново за минуту.
4. Неполные уравнения решают без дискриминанта: выносят x за скобки или выражают x².
5. Число корней — это число общих точек параболы y = ax² + bx + c с осью Ox.
6. По теореме Виета x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a — ею проверяют ответ и подбирают корни устно.
7. В задачах с параметром отдельно рассматривают случай a = 0, в текстовых задачах — отбирают корни по смыслу.

Дополнительные материалы

• Квадратный корень и его свойства — без извлечения √D формула корней не работает.
• Неполные квадратные уравнения — быстрые способы для частных случаев b = 0 и c = 0.
• Теорема Виета — проверка корней и устный подбор.
• Квадратный трёхчлен: разложение на множители — зная корни, получаем ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
• Квадратичная функция и парабола — геометрический смысл дискриминанта.
• Квадратные неравенства — следующий шаг: где парабола выше или ниже оси.
• Задачи на квадратные уравнения — моделирование и отбор корней по смыслу.
• Свободное падение — время полёта тела находится из квадратного уравнения.

Учебники из федерального перечня

Тема входит в федеральную образовательную программу (ФОП) и изучается по учебникам из федерального перечня. Текст урока авторский, учебники — для самостоятельного чтения:

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие; под редакцией Теляковского С.А. — Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень: учебник (Просвещение, 8 класс)

Потренироваться

Тест на 20 вопросов семи типов с разбором каждого варианта ответа — в уроке на платформе.