Арифметическая прогрессия

Цели урока

• Понимать, что такое числовая последовательность и её члены, и узнавать арифметическую прогрессию.
• Находить разность прогрессии и любой её член по формуле n-го члена.
• Использовать характеристическое свойство: каждый член — среднее арифметическое соседей.
• Находить сумму первых n членов двумя формулами и выбирать удобную.
• Решать текстовые задачи ОГЭ, в которых величина меняется на одно и то же число.

Введение

Многие величины в жизни растут или уменьшаются «ровными шагами». Каждый месяц к накоплениям добавляется одна и та же сумма, каждый ряд амфитеатра длиннее предыдущего на одно и то же число мест, каждый день тренировки пробежка увеличивается на один и тот же километр. Такие последовательности чисел называются арифметическими прогрессиями.

Пример из жизни. В жизни прогрессия встречается постоянно. Представь, что ты решил откладывать деньги: в первую неделю 100 рублей, а каждую следующую — на 20 рублей больше, чем в предыдущую. Сколько ты отложишь в 15-ю неделю и сколько накопится за 15 недель? Считать по неделям долго. Формулы прогрессии дают ответ сразу: в 15-ю неделю 100 + 14 · 20 = 380 рублей, а всего (100 + 380) · 15 / 2 = 3600 рублей.

• ОГЭ. По демоверсиям ФИПИ последних лет в первой части есть задание на последовательности и прогрессии, обычно в форме практической задачи: ряды кресел, ежедневные упражнения, падение тела. Нужно найти член или сумму прогрессии.
• ЕГЭ. Прогрессии встречаются в текстовых задачах базового и профильного уровней, а также в задачах на кредиты и вклады (там рядом с арифметической часто работает и геометрическая прогрессия).
• Физика и информатика. Путь тела при равноускоренном движении за последовательные равные промежутки времени растёт по арифметической прогрессии. В программировании прогрессию описывает простой цикл «прибавляй шаг».

Главная идея урока: арифметическая прогрессия задаётся всего двумя числами — первым членом и разностью. Зная их, можно найти что угодно: сотый член, сумму тысячи членов, номер нужного числа.

Ключевые понятия

• Числовая последовательность — числа, записанные по порядку и занумерованные натуральными числами: a₁, a₂, a₃, … Число aₙ называют n-м членом последовательности, n — его номером.
• Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d: aₙ₊₁ = aₙ + d.
• Разность прогрессии — число d = aₙ₊₁ − aₙ. Её находят, вычитая из любого члена предыдущий.
• Возрастающая прогрессия — прогрессия с d > 0; убывающая — с d < 0; при d = 0 все члены одинаковы.
• Формула n-го члена — формула, по которой член находят по номеру, не вычисляя предыдущие: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
• Сумма первых n членов — Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ.
• Рекуррентный способ задания (от лат. recurrere — «возвращаться») — способ, при котором следующий член вычисляют через предыдущие: aₙ₊₁ = aₙ + d.

Интуиция

Представь лестницу, у которой все ступеньки одной высоты d. Ты стоишь на первой ступеньке на высоте a₁. Чтобы подняться на n-ю ступеньку, нужно сделать n − 1 шаг, и каждый шаг поднимает тебя на d. Поэтому высота n-й ступеньки — a₁ + (n − 1)d. Именно «n − 1», а не n: на первой ступеньке ты уже стоишь, шагов до неё ноль.

Если отметить члены прогрессии на координатной плоскости точками (n; aₙ), все они лягут на одну прямую. Это не случайность: формула aₙ = a₁ + (n − 1)d = dn + (a₁ − d) — это линейная функция от номера n с угловым коэффициентом d. Арифметическая прогрессия — это линейная функция, которую «смотрят» только в натуральных точках.

Сумму удобно представить через знаменитый приём. Запиши члены прогрессии в строку, а под ними — те же члены в обратном порядке. Каждая пара «верхний + нижний» даёт одну и ту же сумму a₁ + aₙ: когда верхнее число увеличивается на d, нижнее на d уменьшается. Пар n, поэтому удвоенная сумма равна (a₁ + aₙ) · n, а сама сумма — вдвое меньше.

Основные правила

Формула n-го члена

aₙ = a₁ + (n − 1)d.

Из неё можно выразить любую величину: разность d = (aₙ − a₁)/(n − 1), первый член a₁ = aₙ − (n − 1)d, номер n = (aₙ − a₁)/d + 1.

Если известны два члена с номерами m и k, разность находят так: d = (aₘ − aₖ)/(m − k). Между ними m − k шагов.

Характеристическое свойство

Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних:

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.

Например, в прогрессии 3, 7, 11 средний член 7 = (3 + 11)/2.

Сумма первых n членов

Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2 — удобно, когда известен последний член.

Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d) · n / 2 — удобно, когда известны первый член и разность.

Вторая формула получается из первой подстановкой aₙ = a₁ + (n − 1)d.

Доказательство и вывод

Формула n-го члена. По определению a₂ = a₁ + d, a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d. Каждый раз к первому члену прибавляется столько разностей, сколько шагов сделано от первого номера: до номера n шагов n − 1. Строго это доказывается методом математической индукции: формула верна для n = 1, и если она верна для n, то aₙ₊₁ = aₙ + d = a₁ + (n − 1)d + d = a₁ + nd — верна и для n + 1.

Характеристическое свойство. Если aₙ₋₁ = aₙ − d и aₙ₊₁ = aₙ + d, то aₙ₋₁ + aₙ₊₁ = 2aₙ, откуда aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Обратно, если это равенство выполняется для всех n, то aₙ₊₁ − aₙ = aₙ − aₙ₋₁: разности соседних членов одинаковы, значит последовательность — арифметическая прогрессия.

Сумма. Запишем сумму дважды — в прямом и обратном порядке:

Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁ + aₙ,

Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₂ + a₁.

Сложим почленно. В k-й паре стоят aₖ и aₙ₋ₖ₊₁. Их сумма равна a₁ + (k − 1)d + a₁ + (n − k)d = 2a₁ + (n − 1)d = a₁ + aₙ — одна и та же для всех пар. Пар n, поэтому 2Sₙ = (a₁ + aₙ) · n и Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2.

Алгоритм

1. Убедись, что перед тобой арифметическая прогрессия: величина каждый раз меняется на одно и то же число.
2. Выпиши, что известно: a₁, d, n, aₙ или Sₙ. В текстовой задаче переведи условие на язык этих букв.
3. Если нужна разность, найди её как разность соседних членов или через два известных члена: d = (aₘ − aₖ)/(m − k).
4. Для нахождения члена по номеру используй aₙ = a₁ + (n − 1)d.
5. Для суммы выбери формулу: с последним членом Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2, с разностью Sₙ = (2a₁ + (n − 1)d)n/2.
6. Если неизвестен номер, составь уравнение aₙ = a₁ + (n − 1)d и проверь, что n получилось натуральным.
7. Проверь ответ: выпиши несколько первых членов и убедись, что они подчиняются условию.

Визуализации

Визуализация 1. Члены прогрессии лежат на прямой

На графике отмечены первые шесть членов прогрессии 2, 5, 8, 11, 14, 17 с разностью 3. Все точки лежат на прямой y = 3x − 1, а у прямой угловой коэффициент равен разности прогрессии. Между точками прямая нарисована только для наглядности: у прогрессии нет «члена с номером 2,5», её члены существуют лишь при натуральных n. Чем больше d, тем круче прямая; при отрицательной разности она идёт вниз.

Визуализация 2. Приём Гаусса для суммы

Сумма первых пяти членов прогрессии 2, 5, 8, 11, 14 находится без сложения по порядку. Пишем члены в прямом и обратном порядке: каждая пара даёт 16 = a₁ + a₅. Пар пять, значит удвоенная сумма равна 80, а сумма — 40. Проверка сложением: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40. Этот же приём доказывает общую формулу Sₙ.

Примеры

Исключения и особые случаи

• Разность равна нулю. При d = 0 все члены одинаковы: 5, 5, 5, … Это тоже арифметическая прогрессия, хотя она не возрастает и не убывает. Её сумма Sₙ = n · a₁.
• Отрицательная разность. Прогрессия 30, 26, 22, … убывающая, d = −4. Формулы те же, но в них важно не потерять знак: a₁₀ = 30 + 9 · (−4) = −6.
• Номер должен быть натуральным. Если при поиске номера получилось дробное или отрицательное n, число не является членом прогрессии.
• Сумма не с первого члена. Сумму членов с k-го по m-й находят как разность Sₘ − Sₖ₋₁ или как сумму новой прогрессии, у которой первый член aₖ и число членов m − k + 1.
• Последовательность «почти прогрессия». 1, 3, 6, 10 — разности 2, 3, 4 разные, это не арифметическая прогрессия. Всегда проверяй, что разность постоянна, прежде чем применять формулы.

Типичные ошибки

1. n вместо n − 1. a₁₀ = a₁ + 10d — ошибка. Правильно: a₁ + 9d, до десятого члена девять шагов.
2. Неверный знак разности. В прогрессии 12, 9, 6 пишут d = 3. Правильно: d = 9 − 12 = −3. Разность — это «следующий минус предыдущий».
3. Деление на номер, а не на число шагов. Из a₄ = 10 и a₉ = 30 получают d = 20/9. Правильно: между ними 5 шагов, d = 4.
4. Забытое деление на 2 в формуле суммы. Sₙ = (a₁ + aₙ) · n — ошибка, это удвоенная сумма.
5. Подсчёт числа членов. Членов от 14 до 98 с шагом 7 не 12, а 13: считать нужно и первый, и последний.
6. Формулы прогрессии для непрогрессии. Применяют aₙ = a₁ + (n − 1)d к последовательности с меняющейся разностью.

Сравнения и мнемоники

Мнемоника. «Ступенек на одну меньше»

До n-го члена от первого нужно сделать n − 1 шаг — как до пятого этажа нужно подняться на четыре лестничных пролёта. Поэтому в формуле стоит (n − 1)d.

Сравнение. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Историческая справка

Задачи на прогрессии есть уже в древнеегипетском папирусе Ахмеса (около 1650 года до н. э.): в одной из них 10 мер хлеба нужно разделить между 10 людьми так, чтобы доли отличались на одну восьмую меры. Решение — это арифметическая прогрессия с известной суммой и разностью.

Самая известная история о прогрессии связана с немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855). По легенде, школьный учитель задал классу сложить все числа от 1 до 100, рассчитывая надолго занять учеников. Маленький Гаусс почти сразу дал ответ 5050: он заметил, что 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 и так далее дают по 101, а таких пар 50. Историки спорят о деталях рассказа, но приём Гаусса — ровно то доказательство формулы суммы, которое мы разобрали.

Слово «прогрессия» происходит от латинского progressio — «движение вперёд». Его использовал ещё римский философ Боэций в VI веке, а систематическое изложение теории прогрессий появилось в учебниках алгебры XVII–XVIII веков.

Мини-практика

Чек-лист

• Я проверил, что разность соседних членов постоянна.
• Я нашёл разность как «следующий минус предыдущий» и не потерял знак.
• В формуле n-го члена я умножил d на n − 1, а не на n.
• Для суммы я выбрал формулу по известным данным и не забыл разделить на 2.
• Если искал номер, я проверил, что он натуральный.
• Число членов я посчитал с учётом первого и последнего.
• Я проверил ответ, выписав несколько первых членов.

Итоги

1. Арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый член равен предыдущему плюс одно и то же число d.
2. Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d.
3. Каждый член прогрессии — среднее арифметическое соседних членов.
4. Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2 = (2a₁ + (n − 1)d)n/2.
5. Точки (n; aₙ) лежат на прямой с угловым коэффициентом d.
6. Число является членом прогрессии, только если его номер получается натуральным.
7. Текстовые задачи «на одно и то же число больше» решаются формулами прогрессии.

Дополнительные материалы

• Геометрическая прогрессия — последовательности, где каждый член умножается на одно и то же число.
• Линейная функция y = kx + b — график, на котором лежат члены прогрессии.
• Линейные уравнения — с их помощью находят номер члена и неизвестные параметры.
• Сумма геометрической прогрессии — сравните с формулой суммы арифметической прогрессии.
• Сложные проценты — где в финансовых задачах появляется геометрическая прогрессия.

Учебники из федерального перечня

Тема входит в федеральную образовательную программу (ФОП) и изучается по учебникам из федерального перечня. Текст урока авторский, учебники — для самостоятельного чтения:

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие; под редакцией Теляковского С.А. — Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник (Просвещение, 9 класс)

Потренироваться

Тест на 15 вопросов семи типов с разбором каждого варианта ответа — в уроке на платформе.