Линейные уравнения

Цели урока

• Понимать, что такое уравнение, его корень и что значит «решить уравнение».
• Выполнять равносильные преобразования: переносить слагаемые и делить обе части на число, не равное нулю.
• Решать уравнения со скобками и дробями, сводя их к виду ax = b.
• Разбирать три случая уравнения ax = b: один корень, нет корней, бесконечно много корней.
• Составлять линейное уравнение по условию текстовой задачи и проверять ответ.

Введение

Линейное уравнение — первый по-настоящему алгебраический инструмент, который получает школьник. До седьмого класса задачи решались «по действиям»: сначала узнай одно, потом другое. Уравнение позволяет записать условие одной строкой, обозначив неизвестное буквой, а дальше действовать по чётким правилам.

Пример из жизни. В жизни мы решаем линейные уравнения, даже не называя их так. Представь поездку на такси: посадка стоит 100 рублей, каждый километр — 30 рублей. Поездка обошлась в 850 рублей. Сколько километров проехали? Обозначим расстояние через x: 100 + 30x = 850. Отсюда 30x = 750 и x = 25 километров. Точно так же считают, сколько месяцев копить на телефон, сколько тетрадей купить на заданную сумму, за сколько часов бассейн наполнится водой.

• ВПР в 7–8 классах. В проверочных работах есть задания «Решите уравнение» и текстовые задачи, которые удобнее всего решать через уравнение.
• ОГЭ. По демоверсиям ФИПИ последних лет задание «Решите уравнение» стоит в первой части. Во второй части уравнения появляются внутри текстовых задач. Почти любое более сложное уравнение (квадратное, дробное) после преобразований в какой-то момент сводится к линейному.
• Физика, химия, экономика. Формулы вида s = vt, m = ρV, «стоимость = цена · количество» — это линейные зависимости. Найти неизвестную величину из такой формулы — значит решить линейное уравнение.

Главное, что ты вынесешь из урока: уравнение решается не угадыванием, а цепочкой преобразований, каждое из которых сохраняет корни. Если понимать, почему каждое преобразование законно, ошибиться со знаком или «потерять» корень становится почти невозможно.

Ключевые понятия

• Уравнение — равенство, содержащее переменную (неизвестное), значение которой нужно найти: 3x + 2 = 17.
• Переменная — буква, вместо которой можно подставлять числа. В уравнении её часто называют неизвестным.
• Корень уравнения — значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство. Число 5 — корень уравнения 3x + 2 = 17, потому что 3 · 5 + 2 = 17.
• Решить уравнение — найти все его корни или доказать, что корней нет.
• Левая и правая части — выражения слева и справа от знака «=».
• Равносильные уравнения — уравнения, у которых одни и те же корни (или оба не имеют корней). Решение — это переход от уравнения к равносильному, но более простому.
• Линейное уравнение с одной переменной — уравнение вида ax = b, где x — переменная, а a и b — числа. Число a называют коэффициентом при переменной.
• Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью: 5x и −2x, 7 и −3. Их можно складывать: 5x − 2x = 3x.
• Проверка — подстановка найденного числа в исходное уравнение, чтобы убедиться, что равенство верное.

Интуиция

Представь чашечные весы в равновесии. На левой чаше — три одинаковых мешочка неизвестной массы x и гиря 2 кг, на правой — гири общей массой 17 кг. Весы уравновешены: 3x + 2 = 17.

Что можно сделать, чтобы равновесие не нарушилось? Снять с обеих чаш по 2 кг. Слева останутся три мешочка, справа 15 кг: 3x = 15. Теперь разделим содержимое обеих чаш на три равные части: один мешочек весит столько же, сколько 5 кг. Значит, x = 5.

В этой картинке спрятаны оба главных правила урока:

• с обеими частями уравнения можно делать одно и то же действие — прибавлять или вычитать одно и то же число;
• обе части можно умножать или делить на одно и то же число, но только не на ноль.

«Перенос слагаемого с противоположным знаком» — это просто короткая запись первого правила. Когда мы пишем «перенесём 2 вправо со знаком минус», мы на самом деле вычитаем 2 из обеих частей: слева 2 исчезает, справа появляется −2.

Почему нельзя делить на ноль? Если умножить обе части на 0, любое уравнение превратится в верное равенство 0 = 0. Весы будут «уравновешены» при любом x, и вся информация о неизвестном пропадёт.

Основные правила

Свойства уравнений

1. Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число или выражение, получится уравнение, равносильное данному. Следствие: любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, получится уравнение, равносильное данному.

Решение уравнения ax = b

Например: 4x = 12 — корень 3; 0 · x = 7 — корней нет; 0 · x = 0 — корень любое число.

Уравнения, сводящиеся к линейным

• Со скобками. Скобки раскрывают по распределительному свойству: 3(x − 2) = 3x − 6. Если перед скобкой стоит минус, знаки всех слагаемых в скобке меняются: −(2x − 5) = −2x + 5.
• С дробными коэффициентами. Обе части умножают на общий знаменатель всех дробей. Уравнение x/3 + x/2 = 5 после умножения на 6 превращается в 2x + 3x = 30.
• С переменной в обеих частях. Слагаемые с переменной переносят в одну сторону, числа — в другую: 5x − 7 = 2x + 8 → 5x − 2x = 8 + 7 → 3x = 15.

Доказательство и вывод

Почему перенос слагаемого сохраняет корни. Пусть число c — корень уравнения A = B, то есть при x = c левая и правая части равны. Если к равным числам прибавить одно и то же число m, суммы останутся равными: A + m = B + m. Значит, c — корень и нового уравнения. Верно и обратное: если A + m = B + m, то, вычитая m, получаем A = B. Корни у уравнений одинаковые — они равносильны. Перенос слагаемого m из левой части в правую — это вычитание m из обеих частей.

Почему делить можно только на число, не равное нулю. Если k ≠ 0 и A = B, то A · k = B · k; и обратно, из A · k = B · k можно разделить на k и вернуться к A = B. При k = 0 обратный шаг невозможен: равенство A · 0 = B · 0 верно всегда, даже если A ≠ B. Поэтому умножение на ноль «добавляет» лишние корни.

Откуда три случая. Если a ≠ 0, делим обе части ax = b на a и получаем единственное значение x = b/a. Если a = 0, левая часть равна нулю при любом x. Тогда всё зависит от b: при b ≠ 0 получаем неверное равенство 0 = b — ни одно x не подходит; при b = 0 получаем 0 = 0 — подходит любое x.

Алгоритм

1. Если в уравнении есть дроби, умножь обе части на общий знаменатель.
2. Раскрой скобки, внимательно следя за знаками перед скобками.
3. Перенеси слагаемые с переменной в левую часть, числа — в правую, меняя знак у каждого перенесённого слагаемого.
4. Приведи подобные слагаемые и получи уравнение вида ax = b.
5. Разбери случай: если a ≠ 0, найди x = b : a; если a = 0, проверь b и запиши «корней нет» или «x — любое число».
6. Сделай проверку: подставь найденный корень в исходное уравнение.
7. В текстовой задаче проверь, подходит ли ответ по смыслу, и запиши его с единицами измерения.

Визуализации

Визуализация 1. Весы и равносильные преобразования

Каждая строка таблицы — уравнение, равносильное исходному: у всех один и тот же корень 5. Мы ни разу не «угадывали» ответ, а только делали одинаковые действия с обеими частями. Такой пошаговый вид записи полезно сохранять и в тетради: если в конце получилась ошибка, её легко найти, сравнив соседние строки.

Визуализация 2. Корень как точка пересечения графиков

Левую и правую части уравнения 3x − 5 = 7 можно представить как две функции: y = 3x − 5 (наклонная прямая) и y = 7 (горизонтальная прямая). Корень уравнения — это абсцисса точки, где графики пересекаются: при x = 4 обе части равны 7. Если бы прямые были параллельны, общих точек не было бы — это случай «корней нет». Если бы прямые совпали — «любое число».

Примеры

Исключения и особые случаи

• Коэффициент при переменной равен нулю. После приведения подобных может получиться 0 · x = b. Делить на ноль нельзя, поэтому ответ определяется не формулой, а значением b: при b ≠ 0 корней нет, при b = 0 корень — любое число. Пример: 2(x + 3) = 2x + 6 даёт 0 · x = 0 — любое число; 2(x + 3) = 2x + 5 даёт 0 · x = −1 — корней нет.
• Корень — ноль. Уравнение 5x = 0 имеет корень 0. Это нормальный ответ, его нельзя путать с «корней нет».
• Дробный или отрицательный корень. Корнем может быть любое число: −3, 2/7, 0,125. В ответе дробь не обязательно переводить в десятичную, если она бесконечная.
• Уравнение не линейное с виду, но сводится к линейному. После раскрытия скобок x² может сократиться: x(x + 2) = x² + 6 → 2x = 6. Такие уравнения решают как линейные.
• Текстовые задачи. Корень уравнения может не подойти по смыслу: например, дробное число учеников. Тогда либо в задаче ошибка, либо неверно составлено уравнение — стоит перепроверить.

Типичные ошибки

1. Перенос без смены знака. В 3x + 5 = 20 пишут 3x = 20 + 5. Правильно: 3x = 20 − 5. Как избежать: помни, что перенос — это вычитание из обеих частей.
2. Минус перед скобкой меняет только первое слагаемое. −(x − 4) раскрывают как −x − 4. Правильно: −x + 4. Как избежать: меняй знак у каждого слагаемого внутри скобки.
3. Деление на коэффициент с ошибкой в знаке. Из −4x = 12 получают x = 3. Правильно: x = −3.
4. Умножение на общий знаменатель не всех слагаемых. В x/2 + 1 = 4 после умножения на 2 пишут x + 1 = 8. Правильно: x + 2 = 8, умножается каждое слагаемое обеих частей.
5. Ответ «x = 0» вместо «корней нет». 0 · x = 5 не значит x = 0: при подстановке получается 0 = 5.
6. Отсутствие проверки. Многие ошибки в знаках ловятся одной подстановкой корня в исходное уравнение.

Сравнения и мнемоники

Мнемоника. «Перешёл границу — сменил знак»

Знак «=» — как граница между частями уравнения. Слагаемое, которое её пересекает, «меняет паспорт»: плюс становится минусом, минус — плюсом. А множитель через границу не переносят — на него делят обе части.

Сравнение. Уравнение и тождество

Историческая справка

Задачи, которые мы сегодня решаем линейными уравнениями, встречаются в древнеегипетском папирусе Ахмеса (около 1650 года до н. э.). В нём неизвестное называлось словом «аха» — «куча», и задачи звучали так: «Куча и её седьмая часть дают 19. Найди кучу». Египтяне решали их методом «ложного положения»: брали удобное пробное число, смотрели, насколько ответ отличается от нужного, и пропорционально исправляли его.

Правила переноса слагаемых и приведения подобных описал в IX веке багдадский учёный Мухаммад аль-Хорезми. Слово «аль-джабр» из названия его трактата означало «восполнение» — перенос вычитаемого в другую часть уравнения, где оно становится слагаемым. От этого слова произошло название всей науки — алгебра.

Буквенная запись уравнений появилась гораздо позже. Французский математик Франсуа Виет в конце XVI века стал обозначать буквами и неизвестные, и известные величины, а Рене Декарт в XVII веке закрепил привычку обозначать неизвестные последними буквами алфавита — x, y, z.

Мини-практика

Чек-лист

• Я избавился от дробей, умножив каждое слагаемое на общий знаменатель.
• Я раскрыл скобки и поменял знаки всех слагаемых, если перед скобкой стоял минус.
• При переносе через знак «=» я поменял знак слагаемого.
• Я привёл уравнение к виду ax = b и проверил, не равен ли a нулю.
• Я сделал проверку подстановкой в исходное уравнение.
• В текстовой задаче я проверил ответ по смыслу и записал единицы измерения.

Итоги

1. Уравнение — равенство с переменной; корень — значение, при котором равенство верно.
2. Слагаемое можно переносить в другую часть уравнения, меняя его знак на противоположный.
3. Обе части можно умножать и делить на одно и то же число, не равное нулю.
4. Линейное уравнение ax = b при a ≠ 0 имеет один корень x = b : a.
5. При a = 0 уравнение либо не имеет корней (b ≠ 0), либо его корень — любое число (b = 0).
6. Уравнения со скобками и дробями сначала приводят к виду ax = b.
7. Проверка подстановкой — самый надёжный способ поймать ошибку в знаке.

Дополнительные материалы

• Числовые и буквенные выражения — как составлять выражения, из которых строятся уравнения.
• Тождества и тождественные преобразования — раскрытие скобок и приведение подобных.
• Линейная функция y = kx + b — графический смысл линейного уравнения.
• Системы линейных уравнений — следующий шаг: две переменные и два уравнения.
• Квадратные уравнения, дискриминант — уравнения второй степени, которые тоже решают по шагам.

Учебники из федерального перечня

Тема входит в федеральную образовательную программу (ФОП) и изучается по учебникам из федерального перечня. Текст урока авторский, учебники — для самостоятельного чтения:

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие; под редакцией Теляковского С.А. — Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник (Просвещение, 7 класс)

Потренироваться

Тест на 15 вопросов семи типов с разбором каждого варианта ответа — в уроке на платформе.