Разность квадратов

Цели урока

• Знать формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов и уметь читать их словами.
• Понимать, откуда берутся формулы: из умножения многочленов и из площадей квадратов.
• Применять формулы «слева направо»: быстро раскрывать скобки.
• Применять формулы «справа налево»: раскладывать выражения на множители и сворачивать их в квадрат.
• Использовать формулы для устного счёта и упрощения выражений в задачах ОГЭ.

Введение

Умножать многочлен на многочлен ты уже умеешь: каждое слагаемое первой скобки умножить на каждое слагаемое второй и привести подобные. Но некоторые произведения встречаются так часто, что их результат выгодно запомнить готовым. Это и есть формулы сокращённого умножения — «сокращённого», потому что они сокращают работу.

Пример из жизни. В жизни эти формулы помогают считать в уме. Сколько будет 51²? Можно умножать столбиком, а можно заметить, что 51 = 50 + 1, и тогда 51² = 2500 + 100 + 1 = 2601. А 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499. Представь, что ты считаешь площадь квадратной комнаты 5,1 × 5,1 метра или стоимость 99 товаров по 101 рублю — формулы дают ответ за секунды.

• ОГЭ. По демоверсиям ФИПИ последних лет в первой части есть задания на упрощение и вычисление значений выражений; формулы сокращённого умножения — главный инструмент для них. Во второй части они нужны при решении уравнений и сокращении дробей.
• Алгебра 8–11 классов. Сокращение алгебраических дробей, квадратные уравнения (выделение полного квадрата), иррациональные выражения, тригонометрия — везде работают эти формулы.
• Геометрия и физика. Теорема Пифагора, площади, формулы кинетической энергии часто требуют раскрыть квадрат суммы или разности.

Главная мысль урока: формулу нужно видеть в обе стороны. Раскрыть скобки легко, а вот увидеть в выражении 9x² − 12x + 4 «спрятанный» квадрат (3x − 2)² — это навык, который отличает уверенного ученика.

Ключевые понятия

• Многочлен — сумма одночленов: 3x² − 5x + 2.
• Квадрат выражения — выражение, умноженное само на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b).
• Квадрат суммы — выражение вида (a + b)².
• Квадрат разности — выражение вида (a − b)².
• Разность квадратов — выражение вида a² − b².
• Удвоенное произведение — произведение двух выражений, умноженное на 2: 2ab. Для a = 3x и b = 5 удвоенное произведение равно 2 · 3x · 5 = 30x.
• Разложение на множители — представление многочлена в виде произведения: a² − b² = (a − b)(a + b).
• Тождество — равенство, верное при всех значениях переменных. Все формулы сокращённого умножения — тождества.

Интуиция

Посмотри на квадрат со стороной a + b. Разрежем каждую сторону на отрезки a и b и проведём линии разреза. Квадрат распадётся на четыре части: большой квадрат a × a, маленький квадрат b × b и два одинаковых прямоугольника a × b. Площадь всего квадрата равна сумме площадей частей: (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Отсюда видно, почему в формуле появляется удвоенное произведение: прямоугольников два. И почему (a + b)² не равно a² + b²: без двух прямоугольников квадрат не складывается.

С разностью квадратов тоже есть наглядный образ. Из квадрата со стороной a вырежем уголок — квадрат со стороной b. Оставшуюся фигуру в форме буквы «Г» можно разрезать на два прямоугольника и сложить из них один прямоугольник со сторонами (a − b) и (a + b). Площадь не изменилась, поэтому a² − b² = (a − b)(a + b).

Полезно запомнить и «словесную» форму формул — так их легче узнавать в выражениях с любыми буквами и числами:

• квадрат суммы равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго;
• квадрат разности — то же самое, но удвоенное произведение со знаком минус;
• разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы.

Основные правила

Квадрат суммы и квадрат разности

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Здесь a и b — любые выражения: числа, переменные, одночлены. Например, (3x + 4)² = 9x² + 24x + 16: квадрат первого (3x)² = 9x², удвоенное произведение 2 · 3x · 4 = 24x, квадрат второго 16.

Последнее слагаемое b² всегда положительно (или равно нулю): и в квадрате суммы, и в квадрате разности оно идёт со знаком плюс.

Разность квадратов

a² − b² = (a − b)(a + b)

Формула работает в обе стороны: (x − 5)(x + 5) = x² − 25, и x² − 25 = (x − 5)(x + 5).

Сумма квадратов a² + b² на множители с действительными коэффициентами не раскладывается — для неё формулы нет.

Сумма и разность кубов (для справки)

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Выражения во вторых скобках называют неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы: в них не удвоенное, а просто произведение ab.

Доказательство и вывод

Все формулы доказываются умножением многочленов.

Квадрат суммы. (a + b)² = (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Два средних слагаемых одинаковы, потому что ab = ba, — отсюда множитель 2.

Квадрат разности. (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Произведение (−b)(−b) = b² положительно — поэтому последнее слагаемое со знаком плюс.

Можно вывести и короче: a − b = a + (−b), поэтому (a − b)² = a² + 2a(−b) + (−b)² = a² − 2ab + b².

Разность квадратов. (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b² = a² − b². Средние слагаемые ab и −ba взаимно уничтожаются.

Сумма кубов. (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³. Разность кубов проверяется так же.

Поскольку каждая формула получена тождественными преобразованиями, она верна при любых значениях a и b — это тождество.

Алгоритм

1. Определи, какой вид у выражения: квадрат суммы или разности, произведение разности и суммы одних и тех же выражений, разность квадратов или трёхчлен.
2. Назови, что играет роль a и что — роль b. Если нужно, запиши это отдельно: a = 3x, b = 2.
3. Для раскрытия скобок подставь a и b в правую часть формулы, не забыв возвести в квадрат коэффициенты: (3x)² = 9x².
4. Для свёртывания трёхчлена в квадрат найди два квадрата (первое и последнее слагаемые) и проверь, что среднее слагаемое равно ±2ab.
5. Для разложения разности квадратов представь каждое слагаемое как квадрат: 16x² = (4x)², 9 = 3².
6. Приведи подобные слагаемые, если формула применялась внутри более длинного выражения.
7. Проверь результат: подставь удобное число, например x = 1, в исходное и полученное выражения.

Визуализации

Визуализация 1. Квадрат суммы как площадь

Таблица описывает квадрат со стороной a + b, разрезанный на четыре части. Сложив площади частей, получаем формулу квадрата суммы. Хорошо видно, что прямоугольников ab два — отсюда удвоенное произведение. Если убрать эти два прямоугольника и оставить только a² и b², площадь окажется меньше площади квадрата: поэтому (a + b)² ≠ a² + b².

Визуализация 2. Узнаём формулу в выражении

Работа с формулой всегда начинается с одного вопроса: что здесь a и что b? Таблица показывает этот шаг явно. В последних двух строках формулы применены «справа налево»: выражение не раскрывают, а сворачивают в произведение. Для трёхчлена обязательно проверяют среднее слагаемое: 2 · x · 5 = 10x — совпало, значит это полный квадрат.

Примеры

Исключения и особые случаи

• Сумма квадратов не раскладывается. a² + b² нельзя разложить на множители с действительными коэффициентами. Частая ошибка — писать a² + b² = (a + b)². На самом деле (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (−a − b)² = (a + b)². Если оба слагаемых со знаком минус, квадрат такой же, как у суммы: (−x − 3)² = x² + 6x + 9. А (b − a)² = (a − b)²: при возведении в квадрат знак выражения внутри скобки не важен.
• Коэффициенты возводятся в квадрат. (3x)² = 9x², а не 3x². Ошибка особенно часто появляется, когда a — одночлен с коэффициентом.
• Не каждый трёхчлен — полный квадрат. x² + 6x + 8 не является квадратом двучлена: 3² = 9, а не 8. Такие трёхчлены раскладывают другими способами, например через корни квадратного уравнения.
• Разность квадратов с числами. 1 − x² = (1 − x)(1 + x); 0,04 − a² = (0,2 − a)(0,2 + a) — число тоже нужно увидеть как квадрат.

Типичные ошибки

1. Потеря удвоенного произведения. (x + 5)² = x² + 25 — ошибка. Правильно: x² + 10x + 25. Как избежать: вспоминай квадрат со стороной a + b, в нём два прямоугольника.
2. Минус у последнего слагаемого. (x − 4)² = x² − 8x − 16 — ошибка. Правильно: + 16, потому что (−4)² = 16.
3. Коэффициент не возведён в квадрат. (2x − 1)² = 2x² − 4x + 1 — ошибка. Правильно: 4x² − 4x + 1.
4. Удвоенное произведение без двойки. (a + 3)² = a² + 3a + 9 — ошибка. Правильно: a² + 6a + 9.
5. Потерянные скобки при вычитании. −(x − 3)(x + 3) раскрывают как −x² − 9. Правильно: −(x² − 9) = −x² + 9.
6. «Разложение» суммы квадратов. x² + 16 = (x + 4)(x − 4) — ошибка: справа получится x² − 16.

Сравнения и мнемоники

Мнемоника. «Квадрат, удвоенное, квадрат»

Квадрат суммы и квадрат разности читаются одинаковым ритмом: «квадрат первого — удвоенное произведение — квадрат второго». Меняется только знак в середине, и он совпадает со знаком в скобке. Последний знак всегда плюс.

Сравнение. Три выражения, которые путают

Историческая справка

Формулы сокращённого умножения были известны задолго до появления буквенной алгебры. Древнегреческий математик Евклид (III век до н. э.) во второй книге «Начал» доказывает их геометрически: например, утверждение о том, что квадрат, построенный на сумме двух отрезков, равен сумме квадратов на этих отрезках вместе с удвоенным прямоугольником на них. Это и есть формула (a + b)² = a² + 2ab + b², только сформулированная словами и чертежом.

Такую «геометрическую алгебру» использовали и вавилонские писцы, и индийские математики, и учёные исламского мира: аль-Хорезми в IX веке решал квадратные уравнения, достраивая фигуры до полного квадрата. Буквенная запись формул в современном виде закрепилась только в XVI–XVII веках, после работ Франсуа Виета и Рене Декарта. С тех пор эти равенства стали рабочим инструментом, который применяют в любой алгебраической выкладке.

Мини-практика

Чек-лист

• Я определил, какая формула подходит, и назвал a и b.
• Я возвёл в квадрат и букву, и коэффициент.
• Я не забыл удвоенное произведение в квадрате суммы или разности.
• Последнее слагаемое в квадрате разности у меня со знаком плюс.
• При свёртывании в квадрат я проверил среднее слагаемое.
• Перед вычитанием произведения я взял его в скобки.
• Я проверил результат подстановкой числа.

Итоги

1. Квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Квадрат разности: (a − b)² = a² − 2ab + b²; последнее слагаемое всегда с плюсом.
3. Разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b).
4. Сумма квадратов a² + b² на множители не раскладывается.
5. Формулы применяют в обе стороны: для раскрытия скобок и для разложения на множители.
6. Выделение полного квадрата помогает находить наименьшее значение выражения.
7. Формулы ускоряют устный счёт: 99², 101 · 99 и т. п.

Дополнительные материалы

• Умножение многочлена на многочлен — откуда берутся все формулы.
• Разложение на множители — формулы как один из способов разложения.
• Вынесение общего множителя — часто применяется вместе с формулами.
• Квадратные уравнения, дискриминант — формула корней выводится выделением полного квадрата.
• Сокращение алгебраических дробей — формулы помогают найти общий множитель.

Учебники из федерального перечня

Тема входит в федеральную образовательную программу (ФОП) и изучается по учебникам из федерального перечня. Текст урока авторский, учебники — для самостоятельного чтения:

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и другие; под редакцией Теляковского С.А. — Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник (Просвещение, 7 класс)

Потренироваться

Тест на 15 вопросов семи типов с разбором каждого варианта ответа — в уроке на платформе.