Что такое умножение

Цели урока

• Понять, что умножение — это сложение одинаковых слагаемых.
• Научиться записывать сумму одинаковых слагаемых умножением и читать такую запись.
• Запомнить названия: множители и произведение.
• Узнать, почему множители можно менять местами.
• Решать задачи про одинаковые группы: тарелки, коробки, ряды.

Введение

Представь, что мама купила 5 коробок сока, а в каждой коробке по 3 пакетика. Сколько всего пакетиков? Можно считать по одному: раз, два, три… до пятнадцати. Это долго, и легко сбиться. А можно сказать: «по 3 взять 5 раз» — и сразу получить 15. Этот быстрый способ и называется умножением.

Умножение встречается везде, где есть одинаковые группы:

• Дома. Сколько ножек у 4 стульев? Сколько пуговиц на 3 рубашках, если на каждой по 6? Сколько яиц в 2 коробках по 10?
• В магазине. Шоколадка стоит 50 рублей. Сколько стоят 3 шоколадки? Продавец не складывает 50 + 50 + 50 столбиком — он умножает.
• В игре. В настольной игре выпало 4 хода по 3 клетки. На сколько клеток ты продвинулся?
• В школе. Без умножения не будет таблицы умножения, деления, площади, дробей. Это одна из самых важных «дверей» во всю математику. Во Всероссийской проверочной работе (ВПР) в 4 классе почти каждое задание так или иначе опирается на умножение.
• На олимпиадах. Задачи вроде «сколько лап у всех зверей в зоопарке» решаются красиво именно с помощью умножения.

Сегодня ты узнаешь, что такое умножение, как его записывают и почему оно так хорошо экономит время. А ещё — почему от перестановки множителей ответ не меняется.

Ключевые понятия

• Сложение — когда числа соединяют вместе: 3 + 4 = 7. Числа, которые складывают, называются слагаемыми.
• Одинаковые слагаемые — когда складывают одно и то же число несколько раз: 3 + 3 + 3 + 3. Здесь четыре слагаемых, и каждое равно 3.
• Умножение — действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых. Вместо 3 + 3 + 3 + 3 пишут 3 · 4.
• Знак умножения — точка «·», её ставят посередине строки. Запись 3 · 4 читают так: «три умножить на четыре» или «по три взять четыре раза».
• Множители — числа, которые умножают. В записи 3 · 4 = 12 числа 3 и 4 — множители. Первый множитель показывает, сколько в каждой группе, второй — сколько групп (сколько раз взять).
• Произведение — результат умножения. В записи 3 · 4 = 12 число 12 — произведение. Выражение 3 · 4 тоже называют произведением.
• Группа — несколько одинаковых по количеству предметов, которые считают вместе: коробка карандашей, ряд стульев, тарелка с яблоками.

Интуиция

Посмотри на стол. На нём 4 тарелки, и на каждой лежит по 3 яблока. Как посчитать все яблоки?

Способ первый — по одному. Раз, два, три, четыре… двенадцать. Работает, но долго. А если бы тарелок было двадцать?

Способ второй — сложением. На каждой тарелке 3 яблока. Тарелок четыре. Складываем: 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Уже быстрее, но запись длинная.

Способ третий — умножением. Замечаем, что все слагаемые одинаковые. Значит, можно сказать коротко: «по 3 взять 4 раза». Записываем: 3 · 4 = 12. Одна строчка вместо четырёх слагаемых!

Умножение — это короткая запись длинного сложения. Оно работает только тогда, когда группы одинаковые. Если на одной тарелке 3 яблока, а на другой 5, сразу умножить не получится: такие группы складывают.

Умножение удобно представлять ещё двумя способами.

• Ряды. Расставь стулья в 3 ряда по 4 стула. Всего стульев 4 · 3 = 12. Ряды — это группы.
• Прыжки. Кузнечик прыгает по числовой линейке, каждый раз ровно на 3 клетки. После 4 прыжков он окажется на числе 12: 3, 6, 9, 12. Каждый прыжок — одна группа по 3.

Все три картинки — тарелки, ряды и прыжки — рассказывают одно и то же: одинаковые группы можно посчитать умножением.

Основные правила

Правило. Умножить число на 4 — значит взять это число слагаемым 4 раза. В общем виде: чтобы найти произведение a · b, нужно сложить b одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a:

a · b = a + a + … + a (слагаемое a повторяется b раз).

Например:

• 2 · 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 — по 2 взять 5 раз;
• 5 · 2 = 5 + 5 = 10 — по 5 взять 2 раза;
• 7 · 3 = 7 + 7 + 7 = 21 — по 7 взять 3 раза.

Когда можно заменить сложение умножением. Только когда все слагаемые одинаковые. Сумму 4 + 4 + 4 можно записать как 4 · 3. Сумму 4 + 4 + 5 нельзя целиком записать одним умножением: в ней слагаемые разные. Можно написать 4 · 2 + 5.

Названия компонентов.

Два важных свойства.

1. Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не меняется. 3 · 4 = 4 · 3 = 12.
2. Умножение на 1 и на 0: a · 1 = a (одна группа — это само число), a · 0 = 0 (ни одной группы — ничего).

Почему это так

Почему умножение равно сумме одинаковых слагаемых? Потому что мы так договорились называть этот счёт. Умножение придумали именно для того, чтобы коротко записывать сложение одинаковых групп. Запись 3 · 4 — это не новое волшебство, а сокращение: «три, повторённое четыре раза». Если сомневаешься в ответе, всегда можно разложить умножение обратно в сложение и проверить.

Почему от перестановки множителей ничего не меняется? Нарисуй точки: 3 ряда по 4 точки. Сколько точек? 4 · 3 = 12. А теперь поверни листок боком. Получилось 4 ряда по 3 точки: 3 · 4. Но ведь точки те же самые! Мы их не добавляли и не убирали, просто посмотрели с другой стороны. Значит, 4 · 3 = 3 · 4. Это верно для любых чисел: прямоугольник из точек можно повернуть, а количество точек от поворота не меняется.

Почему a · 1 = a? Если взять число один раз, получится само это число. Одна тарелка с 5 яблоками — это 5 яблок: 5 · 1 = 5.

Почему a · 0 = 0? Если взять число ноль раз, то есть не взять ни разу, ничего не получится. Нет ни одной тарелки — нет и яблок: 5 · 0 = 0. А 0 · 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0: пять пустых тарелок.

Почему умножение экономит время? Когда ты выучишь таблицу умножения, ответ 3 · 4 = 12 будет вспоминаться сразу, без сложения. Для больших групп выгода огромная: сложить десять раз по 9 долго, а 9 · 10 = 90 — одна строчка.

Алгоритм

1. Прочитай задачу и найди группы: тарелки, коробки, ряды, прыжки.
2. Проверь, поровну ли предметов в каждой группе. Если не поровну — умножать нельзя, складывай.
3. Узнай, сколько предметов в одной группе. Это первый множитель.
4. Узнай, сколько всего групп. Это второй множитель.
5. Запиши произведение: сколько в группе · сколько групп.
6. Найди ответ: сложи одинаковые слагаемые или вспомни таблицу умножения.
7. Проверь: разложи умножение обратно в сумму и сложи.

Визуализации

Визуализация 1. Ряды точек

На картинке 3 ряда, в каждом ряду по 4 точки. Каждый ряд — это одна группа, в группе 4 точки, групп 3. Значит, всего точек 4 · 3 = 12. Если повернуть картинку, получится 4 ряда по 3 точки, то есть 3 · 4. Точек всё равно 12. Так рисунок показывает, почему множители можно менять местами.

Визуализация 2. Прыжки по числовому лучу

Кузнечик начинает с нуля и прыгает каждый раз на 3 деления: 3, 6, 9, 12. Сделано 4 одинаковых прыжка, и кузнечик оказался на числе 12. Поэтому 3 · 4 = 12. Числовой луч помогает, когда картинки с предметами нет. Можно «прыгать» глазами или пальцем и считать группы.

Визуализация 3. От сложения к умножению

Таблица показывает, как длинная сумма превращается в короткое произведение. Первое число в произведении — это одинаковое слагаемое. Второе — сколько раз оно повторяется. Обрати внимание: чем больше слагаемых, тем больше экономия. В последней строке пять слагаемых заменились одной короткой записью.

Примеры

Исключения и особые случаи

• Одна группа. Если группа всего одна, умножать почти не нужно: сколько в группе, столько и всего. 7 · 1 = 7.
• Ни одной группы. Если групп нет, то и предметов нет: 7 · 0 = 0. А пять пустых тарелок — тоже ноль: 0 · 5 = 0.
• Группы разные. Если на одной тарелке 3 яблока, а на другой 5, одним умножением не обойтись. Можно сложить: 3 + 5 = 8.
• Порядок множителей. 3 · 4 — «по три взять четыре раза», а 4 · 3 — «по четыре взять три раза». Картинки разные, а ответ одинаковый: 12.

Типичные ошибки

1. Складывают множители вместо того, чтобы умножать. «3 · 4 = 7» — это ошибка: 3 + 4 = 7, а 3 · 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Как проверить: разложи умножение в сумму одинаковых слагаемых.
2. Заменяют умножением сумму разных слагаемых. 4 + 4 + 5 не равно 4 · 3. Умножение подходит только для одинаковых групп.
3. Путают названия. Результат умножения — произведение, а не сумма. Сумма — это результат сложения.
4. Думают, что при умножении на 0 число не меняется. 5 · 0 = 0, а не 5. Ни разу не взяли — ничего не получили.
5. Считают лишнюю группу. Когда считаешь прыжками по лучу, первый прыжок начинается с нуля. Не засчитывай ноль как отдельную группу.

Сравнения и мнемоники

Лайфхак 1. Меняй множители, если так проще

Считать 2 · 9 — это «по 2 взять 9 раз», девять слагаемых. А 9 · 2 — «по 9 взять 2 раза»: 9 + 9 = 18. Ответ одинаковый, а считать гораздо проще! Выбирай тот порядок, где меньше слагаемых.

Лайфхак 2. Умножить на 2 — значит удвоить

Чтобы умножить число на 2, сложи его с самим собой: 8 · 2 = 8 + 8 = 16. Запомни фразу: «на два — значит вдвое, два раза подряд».

Сравнение. Сложение и умножение

Историческая справка

Люди умножали задолго до того, как появился знак «·». Почти четыре тысячи лет назад в Древнем Египте писец Ахмес записал в папирусе, который сегодня называют папирусом Ринда, как умножать числа. Египтяне умножали удвоением: чтобы найти 13 · 12, они много раз удваивали 12, а потом складывали нужные строчки.

Квадратную таблицу, где на пересечении строки и столбца стоит произведение, во многих странах называют таблицей Пифагора. Её связывают с именем древнегреческого учёного Пифагора. Правда, сам он её, скорее всего, не составлял: таблицами умножения пользовались и до него.

Знак умножения «×» (косой крестик) придумал английский математик Уильям Отред в 1631 году. Немецкий учёный Готфрид Лейбниц в конце XVII века предложил писать точку «·». Он заметил, что крестик легко спутать с буквой x. В российских школах сегодня пишут именно точку.

В России первая большая таблица умножения для учеников появилась в учебнике «Арифметика» Леонтия Магницкого в 1703 году. По этой книге учился Михаил Ломоносов и называл её «вратами учёности».

Мини-практика

Чек-лист

• Я нашёл одинаковые группы.
• Я проверил, что во всех группах поровну.
• Я записал: сколько в группе · сколько групп.
• Я назвал множители и произведение.
• Я проверил ответ сложением.

Итоги

1. Умножение — короткая запись сложения одинаковых слагаемых: 3 + 3 + 3 + 3 = 3 · 4.
2. Запись 3 · 4 читают «три умножить на четыре» или «по три взять четыре раза».
3. Числа, которые умножают, — множители, а результат — произведение.
4. От перестановки множителей произведение не меняется: 3 · 4 = 4 · 3.
5. Число, умноженное на 1, не меняется, а умноженное на 0 даёт 0.
6. Если группы разные, одним умножением сумму не заменить.

Дополнительные материалы

• Умножение на 2 и на 3 — первые шаги по таблице умножения.
• Переместительное свойство умножения — почему множители можно менять местами.
• Умножение на 1 и на 0 — особые случаи, которые встречаются постоянно.
• Таблица умножения — все произведения однозначных чисел наизусть.
• Деление — действие, обратное умножению: разложить поровну.

Учебники из федерального перечня

Тема входит в федеральную образовательную программу (ФОП) и изучается по учебникам из федерального перечня. Текст урока авторский, учебники — для самостоятельного чтения:

• Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. и другие — Математика: 2-й класс: учебник: в 2 частях (Просвещение, 2 класс)

Потренироваться

Тест на 15 вопросов семи типов с разбором каждого варианта ответа — в уроке на платформе.